一、两节课的听课随想
先说说整体感受。刚才这两节课，都是高三一轮复习课，都选的是立体几何专题——杨老师讲的是正方体截面问题，易老师讲的是三棱锥外接球问题。两节课虽然选题不同，但都体现了我们今天活动主题里讲的“锚定核心素养、优化课堂教学”的追求。我边听边在笔记本上记，有几个共同的印象：一是选题都很准，都是高考的高频考点、重点内容；二是课堂结构都比较清晰，从引入到例题到练习，环环相扣；三是师生互动都比较充分，老师不是在唱独角戏，学生是有参与的。这三点，说实话，做到不容易。我们都有体会，高三复习课上着上着就容易上成“老师讲、学生记”的单向灌输课，能把学生调动起来，背后是老师下了功夫的。
（一）对第一节课的随想
先说杨振新老师的课，课题是“做截面·找交线·悟转化——正方体截面问题探究”。这个标题本身就很有讲究——三个短语，既是方法，也是思维进阶的路径：第一步“做截面”，是动手作图；第二步“找交线”，是提炼方法；第三步“悟转化”，是提升思想。从操作到方法到思想，这个设计很有层次。
我特别注意到一个细节：杨老师这节课是从教材出发的。他引的是人教A版必修二教材第138页的例3——一块木料，棱BC平行于面A′C′，要经过面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开，应该怎样画线？这个引入选得好。为什么好？因为截面问题说到底，就是平面与平面相交的问题，教材这个例题，恰恰就是“找交线”最原始、最本质的模型。从教材出发，不是降低了课堂的起点，而是把学生从“刷题”的状态拉回到“想道理”的状态——这个道理，课本上讲过，只是学生做了很多题之后，反而把它忘了。
再看问题设计。杨老师先让学生过正方体中D、M、N三个点作截面，然后做了一个训练题，再做了一个拓展探究——让学生判断：用一个平面截正方体，截面的形状可能是等边三角形、直角三角形、钝角三角形、矩形、正六边形、正五边形、菱形、直角梯形中的哪些？这个设计非常好。好在哪里？好在它不是只让学生“会画”，而是让学生“会想”——为什么直角三角形不可能？为什么直角梯形不可能？为什么正五边形不可能？这些“为什么”，就是截面问题背后的“理”。学生把这些“为什么”想通了，他不是记住了一个结论，而是理解了截面形成的机制。
当然，我也有一点小小的商榷。截面作图这个事，特别需要学生自己动手。我在课堂上观察到，有些环节老师演示得比较多，学生自己在下面画的时间相对少了一点。截面这个东西，看老师画一遍和自己动手画一遍，效果完全不一样。看老师画，学生觉得“我懂了”；自己动手画，他才会发现“交线到底在哪儿，我其实搞不清”。如果这个地方再多留几分钟，让学生充分动手、充分暴露问题，可能学生对“找交线”这个方法的理解会更深。
（二）对第二节课的随想
再说易芳老师的课，课题是“三棱锥的外接球”，一轮复习课。这节课的结构非常完整：复习回顾、高考探究、变式拓展、归纳总结、课后作业，五个环节，清清楚楚。高三复习课就需要这样的结构——学生知道这节课要干什么、干到什么程度，心里有底。
我特别欣赏易老师对方法的提炼。她在学习目标里就明确写了两条基本路径：第一条是定义算法——根据定义建立等距关系；第二条是模型算法——根据结构识别基本模型。这个提炼很重要。外接球问题，很多学生觉得难，难在哪儿？难在他不知道“从哪儿下手”。老师把方法路径明确出来，学生就有了抓手：先看能不能识别模型，不能识别就用定义法找球心。这个“路径感”，就是学生解题时最需要的东西。
再看变式设计。易老师从一道长方体中的三棱锥外接球体积问题出发，变式1是求外接球体积，变式2是已知外接球半径反求线段长度，变式3是点在线段上运动、求外接球半径的取值范围。这三个变式，梯度非常清晰：从静态求值，到逆向求解，再到动态范围。一层比一层深，一层比一层活。学生做完这三个变式，对外接球问题的理解，就不是停留在“会算一道题”的层面了，而是真正理解了这个问题的来龙去脉。
同样，我也有一点小商榷。外接球问题，计算量确实不小。我在课堂上注意到，有些环节学生在“算”上花的时间比较多——找球心、列方程、解方程，一步一步算下来，课堂时间就过去了。我在想，如果在算之前，先让学生花一两分钟“想”一下：这个三棱锥的结构有什么特征？球心大概在什么位置？能不能先估一下大概的范围？先想清楚再算，可能算起来会更快，也更不容易算错。我们常说“多想少算”，外接球这个问题尤其需要——想清楚了，方程列出来就很简单；想不清楚，盲目列方程，算半天还可能错。
（三）两节课给我的共同启示
把这两节课放在一起看，我有一个很强烈的感受：虽然两节课一个讲截面、一个讲外接球，但本质上都是立体几何里的“空间想象+逻辑推理”问题。两节课的老师都在做同一件事——不是让学生记住几道题的解法，而是在帮学生建立“空间问题平面化”“球心问题等距化”的思维方式。这个方向，就是核心素养在课堂上落地的方向。
但同时，我也在想一个问题：我们的复习课，能不能再往前走一步？现在的课堂，学生是“跟着老师走”的——老师引入、老师提问、老师板书、老师总结。学生是被动的参与者，不是主动的建构者。能不能让学生更多地“自己说出来”？说出他的思路、说出他的困惑、说出他的方法？这就是我今天想和大家聊的，复习课的“有理化”建构。
二、高三数学复习课“有理化”建构的几点思考
什么叫“有理化”？我先说我自己的理解。数学这个学科，本身就是最讲究“理”的学科——概念有概念之理，运算有运算之理，推理有推理之理。但我们的学生，很多时候是在“刷题”，不是在“学理”。他做了一百道题，遇到第一百零一道还是不会，因为他没有把前面一百道题背后的“理”提炼出来。
所谓“有理化”的复习课，就是要让学生在复习的时候，不仅“会算”，更要“会说”——说出这道题为什么这么想，说出这个方法为什么在这里适用，说出自己为什么会错。学生能说出来的“理”，才是真正内化了的“理”。
围绕这个追求，我谈四点思考。
（一）思考一：复习课的起点——从“知识罗列”到“问题驱动”
我们先从复习课的开头说起。大家回忆一下自己平时上复习课，开头一般怎么上？我猜很多老师是这样的：打开PPT，第一页就是这一章的知识结构图——“这一章我们学了哪些内容？第一节是……第二节是……”。罗列一遍，然后进入例题。
这种上法有没有问题？不能说错，但效果往往不好。为什么？因为学生一看这些知识结构图，心里想的是“这些我都知道”。他觉得他知道了，其实他不知道——他只是“见过”，并没有“会用”。知识罗列式的开头，最大的问题是把复习课上成了“浏览课”，学生觉得自己都懂了，注意力就涣散了。
那怎么改？我的做法是，用一个核心问题来统领整节课。不是先罗列知识，而是先抛出一个问题，让学生在解决这个问题的过程中，自然地把相关知识“召唤”出来。
比如刚才杨老师的截面课，他不是一上来就列“截面的定义、截面的作法、截面的性质”，而是直接从教材那个木料锯开的问题入手——要画线，你怎么画？这个问题一抛出来，学生自然就要想：线在哪儿？线和面是什么关系？怎么找交点？你看，一个问题，把截面问题的核心知识全串起来了。这就是问题驱动。
再比如易老师的外接球课，她开头是三道基础题，从最简单的正四面体外接球，到稍微复杂一点的三棱锥外接球，再到更一般的情况。这个设计本质上也是问题驱动——不是先讲“外接球问题有几种模型”，而是先让学生做题，在做题的过程中自然唤起相关知识。
所以我常说，复习课的开头，不要急着“梳理知识”，而要先“制造需求”。有了需求，知识梳理才不是走过场，而是学生真正需要的东西。用一个好问题，把整节课的知识串起来，让学生在解决问题的过程中，自己把知识“理”一遍。
（二）思考二：复习课的过程——从“教师讲透”到“学生讲理”
第二个问题，复习课的主体环节，应该是谁在讲？
我知道我们很多老师，特别是年轻老师，上课有一个特点：讲得特别清楚、特别透彻。一道题拿上来，从第一步到最后一步，清清楚楚写在黑板上，学生一看就懂。但是——考完试你会发现，学生还是不会做。
为什么？因为“老师讲透了”不等于“学生想通了”。学生坐在下面听，他觉得自己懂了，那是“听懂了”，不是“想通了”。“听懂”是被动接受，“想通”是主动建构。被动接受的东西，是记不住的；主动建构的东西，才是自己的。
那怎么办？我的做法是，课堂上要舍得把“话语权”还给学生。不是老师不讲，而是讲完思路之后，让学生自己说一遍。
就拿杨老师这节截面课来说。过D、M、N三点作截面，这个作法，老师如果直接讲——延长DM交A₁B₁延长线于一点，再连接这个点和N，找交点——学生记了满满一黑板笔记，感觉很充实。但如果换一种上法：题目投影出来，先不讲。我让学生先动笔画三分钟。三分钟之后，我找一个学生站起来，不是让他报答案，而是让他说：“你拿到这道题，第一步想干什么？为什么？”
学生会说：“先找两个点所在的平面。”我追问：“为什么要先找这个平面？”学生愣一下，然后说：“……因为截面是一个平面，这个平面要和正方体的面相交，交线在哪儿，得先确定平面。”你看，这个“为什么”，就是“理”。老师不追问，学生可能永远不会去想这个问题，他只是机械地记住了“延长线找交点”这个步骤。
课堂上，只要学生能把这个“为什么”说出来，他这道题就真的懂了。而且他下次遇到类似的题，他会自己问自己：“我为什么要这么做？”这个自我追问的习惯，比做十道题都管用。
所以我建议大家，以后上复习课，多问几个“为什么”。不要怕学生答不上来，答不上来本身就是一个信号——说明他之前是“蒙着做”的，现在把这个“蒙”的地方点破了，反而是好事。
（三）思考三：复习课的例题——从“多做精练”到“多想少算”
第三个问题，一节课讲多少道例题合适？
我知道很多老师的答案是：多多益善。一节四十五分钟的课，讲五道题、六道题，甚至更多。为什么？因为觉得高三时间紧，要赶进度，要让学生多见题型。
但我观察下来，一节课讲五道题，学生其实一道都没真正消化。老师在黑板上写得飞快，学生在下面抄得飞快，一节课下来，笔记抄了好几页，但你问他：“这几道题有什么共同的地方？”他答不上来。因为他一直在跟着老师的节奏走，根本没有时间停下来“想”。
我的主张是：一节复习课，讲一到两道题就够了。但这一到两道题，要“挖深、拓宽、变透”。
什么意思？就是一道题，不要讲完就过，而是要在这道题上面“做文章”——一题多问、一题多变、一题多思。
你看易老师这节外接球课，其实就是这个路子。她不是一节课讲了五道不同的题，而是围绕一道长方体中的三棱锥问题，做了三个变式。变式1求体积，变式2反求线段长，变式3求范围。一道题，三个层次，学生收获比做三道题都大。为什么？因为他不是在“记解法”，而是在“练思维”——他在想，这个条件变了会怎么样？这个问题反过来问会怎么样？这个问题动态化了会怎么样？
再看杨老师的截面课，也是一道题做透。先过D、M、N三点作截面，再换三个点作一遍，再拓展一下截面形状可能有哪些。一节课，其实核心就是一个问题：怎么找截面？但这个问题被反复琢磨、反复变换，学生就真正搞懂了。
这就是我说的“多想少算”。不是不算，而是把时间花在“想”上，而不是花在“算”上。想清楚了，计算量自然就小了；想不清楚，算再多也是白算。
我们当老师的，心里要有一本账：学生做一道题的目的是什么？不是为了把这道题的答案写出来，而是为了通过这道题，学会一种思维方式。思维方式学到了，换什么题都不怕。思维方式没学到，做一百道题也是枉然。
（四）思考四：复习课的作业——从“刷题对答案”到“说理写反思”
最后一个问题，复习课的作业怎么布置？
现在的普遍做法是：课后作业就是做题，第二天老师对答案，学生自己改。学生哪里错了？哦，答案错了，改过来。至于为什么错？他可能想都没想，直接把正确答案抄上去。
这种作业方式，效率其实很低。学生做错一道题，只是“知道自己错了”，但不知道“为什么错”。下次遇到类似的题，他可能还会错——因为他根本没搞清楚自己错在哪儿。
我的做法是，作业不能只做题，还要“写”。写什么？写三样东西：
第一，写思路。每道题做完之后，不是只写答案，而是用一两句话写下：“这道题我是怎么想的？第一步干什么、第二步干什么？”这个过程，就是让学生把自己的思维过程“外化”出来。他写出来了，你才能看到他的思维哪里有问题。
第二，写错因。作业批改之后，学生拿到自己的作业本，不是只改个答案，而是要写：“我这道题为什么错了？是概念不清？是计算失误？还是思路走偏了？”特别是思路走偏这种错误，一定要让学生写清楚：“我当时是怎么想的？为什么这个想法不对？正确的想法应该是什么？”这个反思的过程，比做三道新题都有用。
第三，写总结。每学完一个章节，不是做一套卷子就完事了，而是让学生写一段“本章学习小结”。这个小结，不是抄知识点，而是写：“这一章里，我觉得最核心的方法是什么？最容易出错的地方是什么？我有什么心得？”
就像易老师这节课的课后作业，她布置了必做和选做，选做题里有一道是“参考本节课的两个变式题，尝试改变题目条件，自主设计一道求外接球半径的题目”。这个设计就很好——让学生自己编题，编题的过程，就是他对外接球问题理解最深的过程。他要编一道题，就得想清楚：这个问题的条件是什么？结论是什么？怎么变才能有意义？这个思考，比做十道题都深入。
我知道这样的作业，批改起来很费时间。老师要一个一个看学生写的“思路”“错因”“总结”，比只对答案累多了。但我觉得这个时间花得值——因为学生一旦养成了“说理”的习惯，他以后学数学，就不是在“刷题”，而是在“学思维”。这个习惯一旦养成，受益的是他一辈子。
我们常说，数学教学要培养核心素养。什么是核心素养？不是学生会做多少道题，而是学生会用数学的眼光看问题、用数学的思维想问题、用数学的语言表达问题。“用数学的语言表达问题”——这个“表达”，就是我今天一直在讲的“说理”。学生能把自己的思路说出来、写出来，这就是核心素养在落地。
各位同仁，今天我从杨振新老师和易芳老师的两节展示课说起，聊了聊高三复习课“有理化”建构的四点思考：从知识罗列式的开头，走向问题驱动式的开头；从教师讲透，走向学生讲理；从多做精练，走向多想少算；从刷题对答案，走向说理写反思。
这四点，说到底，就是一个追求：让我们的复习课，不再只是“解题训练”，而是“思维生长”。学生在复习课上收获的，不只是多会做了几道题，而是多学会了一种思考问题的方式。这个方式，我把它叫做“有理”——有道理、有理由、有条理。
今天活动的主题是“锚定核心素养、优化课堂教学、提升复习效能”。我理解，“锚定核心素养”是方向，“优化课堂教学”是路径，“提升复习效能”是目标。而要把这三者落到实处，我觉得关键就在于一个“理”字——让我们的课堂有“理”可讲，让我们的学生有“理”可说。
编辑：李薇
二审：李薇薇
三审：李茂林
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